뢰벤하임-스콜렘 정리

모형을 갖는 임의의 문장 집합은 가산 논의영역을 갖는 논리적 구조가 동일한 모형을 갖는다.

뢰벤하임-스콜렘 정리의 중요성은 바로 모든 모형이 가산 논의 영역을 갖는 기초 동치인 모형에 의해 대체될 수 있다는 것을 보여준다는 점에 있다.

사람들은 흔히 인간이 무한히 많은 이름을 만들 수 있다고 생각한다. 그리고 그런 생각은 옳다. 인간은 유한한 문자의 유한한 길이를 지니는 조합으로 무한히 많은 이름을 만들 수 있다. 문제는 그렇게 만들어낼 수 있는 이름의 집합의 기수이다. 그렇게 생성되는 이름의 집합의 기수는 
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를 넘을 수 없다는 것이 증명되어 있으며, 어떤 식으로 이름을 만들더라도 비가산 집합의 원소와 일대일 대응을 시킬 수 없다. 따라서 논의 영역의 농도가 가산 무한을 초과하는 경우, 그러한 해석에 대해 완전한 해석(개체상항에 논의 영역의 모든 원소가 할당되는 해석)이 존재할 수 없다는 것을 알 수 있다.

뢰벤하임-스콜렘 정리는 비가산 집합을 논의 영역으로 갖는 모형이 가산 모형으로 대체될 수 있다는 것을 보여줌으로써, 가산 논의영역만으로도 1차 술어논리 및 명제 논리를 해석하기에 충분하다는 것을 보여준다. 즉, 완전 해석이 불가능한 해석을 그와 동치인 완전 해석으로 변형할 수 있다는 것이다.

한편 뢰벤하임-스콜렘 정리는 수리 논리학적 정리로서 정리 그 자체의 중요성만큼이나 그것이 함의하는 바의 중요성이 큰 정리이기도 하다. 뢰벤하임-스콜렘 정리를 응용해 철학적인 문제들을 다룬 대표적인 수리철학자가 콰인이다. 윌러드 밴 오먼 콰인 문서에 서술되어 있는 '번역 불확정성' 문제가 바로 이 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 비롯되는 것이다. 우리는 어떤 문장에 대해 그 논리적 구조가 완전히 같은 서로 다른 해석을 생각할 수 있으며, 따라서 번역의 불확정성이 발생한다는 것이 번역 불확정성 문제의 논리학적 근거였다.

그리고 이 번역 불확정성 문제는 과학철학에서 말하는 미결정성 문제로 이어진다. 어떤 현상에 대해 똑같은 설명력을 제공하는 논리적 구조가 동일한 이론 T와 T'이 제시될 수 있다는 발상 역시, 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 시작되는 논의의 연장인 것이다.

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개인적으로 수학 기초론에서 괴델의 불완전성 정리에 버금가는 통찰을 주는 정리 같습니다.