소드 아트 온라인 인피니티 워 (111)

그런 서로간의

각기 다른 생각으로

세 사람의 얼굴이 사정없이 구겨질 때

곧

조작을 끝낸 키리토는

말없이 손가락을 까닥거리고,

그런 그의 동작에

세 사람은 말없이

원격조종 아바타마냥

키리토의 손짓에 따라 움직이고,

곧

키리토가 조작하는 기계 앞에 서자

키리토는

무거운 목소리로,

"지금부터 보는 모든 것은

 오로지 당신들 머리 속에만 간직해야 해요.

 아시겠나요?"

라고 말하며

기계를 작동시키자

곧

기계 전면부 화면에

뭔가가 나타나기 시작하고,

거기에 나오는

화면 속의 내용을 본 세 사람은

곧

서로의 얼굴을 보다가

동시에 키리토의 얼굴을 보면서

"이...이게 뭡니까?"

라고 의문이 가득한 모습으로 묻자

키리토는

"내가 간섭하기 전

 당신들 아니

 이 세계와 언더월드의 미래."

라고 말하면서

닥치고 보라는 얼굴을 하자

세 사람은

다시 고개를 돌리는 것도 무섭다는 모습으로

서로의 얼굴을 바라보다가

억지로 없는 용기를 짜낸 모습으로

다시 대형 화면을 응시하고

그들이 두려움을 품을 만한 이유가

그들이 보는 화면에 일목요원하게

보여지고 있었으니.......

"라스 소유의 오션 터틀 연구소 습격사건 이유, 오리무중.

 생존자는 전무!"

"글로젠 디펜스 시큐리티

 세계 최초의 고적응 인공지능 앨리스 개발!

 과학계의 혁명!"

"전세계 인공지능 관련 회사 주식 폭락!

 글로젠 디펜스 시큐리티 주식만 상승!"

"앨리스가 속해 있는 것으로 알려진

 가상세계 언더월드

 미국과 전세계를 상대로 선전포고!"

"사상 최대의 사이버전에

 미국을 포함한 세계 각 국.

 속수무책!"

"최첨단 무인 병기의 반란!

 언더월드에 탈취된 무인 전투기, 무인 전차

 백악관을 시작으로

 각국의 정부관청 무차별 공격!"

"글로젠 DS 시큐리티 그룹,

 미 정부 몰래

 가상핵전쟁 시뮬레이션을

 언더월드에서 진행하다

 역해킹을 당해

 미국 전역의 핵무기 활성화 암호가 탈취되었다는 사실을 은폐하려다

 적발!"

"글로젠 디펜스 총그룹 CEO 가브리엘 밀러

 가상 세계 언더월드에서 내린 처형명령에 의해

 현실세계에서

 잔디깎이 기계에 의해 참흑하게 찢겨져서 피살됨!"

"언더월드,

 전 세계 각국에 전면 핵공격 개시 선언!"

그런 충격적인 기사 마지막 장면을 보던 세 사람은

도저히 볼 수 없다는 일그러진 얼굴로

고개를 돌릴 수 밖에 없었으니...

그것은 바로

언더월드에 의한

전세계 전면 핵공격 장면이었던 것이다!

리만 가설
최근 수정 시각: 2018-10-29 12:27:37

분류 해석학(수학) 정수론 수학문제
상위 문서: 수학 관련 정보, 밀레니엄 문제

관련 문서: 초월함수, 라마누잔합

밀레니엄 문제

미증명 이론

나비에-스톡스 방정식의 해의 존재와 매끄러움

리만 가설

버츠와 스위너톤-다이어 추측

양-밀스 가설의 존재와 질량 간극

호지 추측

P-NP 문제

증명된 이론

푸앵카레 정리

1. 개요
2. 어떤 문제인가
2.1. 일반인을 위한 설명
3. 수학적 설명
3.1. 리만의 논문
3.1.1. 제타 함수의 해석적 확장
3.2. 리만 이후
4. 이걸 풀면 어떻게 되는가
4.1. 왜 중요한가?
5. 도전자들
5.1. 마이클 아티야 미세구조상수 증명법
5.1.1. 생방송, 그리고 그 이후
6. 대중문화에서의 리만 가설
7. 리만의 비화
8. 기타

1. 개요[편집]
Riemann hypothesis

리만 제타 함수 zetaleft(sright) = 0ζ(s)=0를 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 displaystyle frac{1}{2}
2
1
?  이다.

현세대 정수론의 최종보스.

밀레니엄 문제의 하나로 수학자 베른하르트 리만이 세운 가설이며, 정수론 최고난도 문제가 되었다.[1]

2. 어떤 문제인가[편집]
오일러는 소수의 규칙성에 대해 연구를 하는데, 2 3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009...로 무한하게 나오는 소수들에서는 어떠한 규칙도 찾을 수가 없었지만, 노력 끝에 소수의 분포를 대략적으로 알아내는 함수 displaystyle lim_{x to infty}frac{pileft(xright)log x}{x}=1
x→∞
lim
?  
x
π(x)logx
?  =1를 찾게 된다. 그리고 훗날의 수학자 리만은 오일러의 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만드는데, 놀랍게도 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 비자명 근이 모두 일직선상에 있었다. 그래서 그가 '다른 근 역시 모두 일직선상에 있는 것 아닌가'라고 추측한 것이 리만 가설의 대략적인 이야기다.

리만이 가설을 내놓은 이후, 많은 유명 수학자들이 이것의 증명에 도전했지만 실패하였다. 단지 그 과정에서 얻어진 성과는 리만의 근 뒤로 일직선상에 무수하게 많은 근들이 있다는 것. 하지만 일직선을 벗어난 곳에 근이 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문에 증명이라고 할 수 없었다. 천재 수학자인 존 내시가 이것을 연구한 이후에 정신분열증이 생겼기 때문에, 한동안 수학계에 이것에 대해 연구하는 것을 꺼리는 분위기가 생기게 된다는 루머가 있으나 근거없는 도시전설이다. 아무래도 대 히트친 영화의 영향인듯. 실제로 학계에서는 꾸준히 관련 연구와 논문이 발표되고 있으며 오히려 리만 가설에 심오한 자연의 비밀과 연결되어있다는 점이 속속들이 밝혀지는 중이다. 특히 수학자(몽고메리)와 물리학자(다이슨)의 만남에서 리만 가설이 양자역학과도 관련이 있다는 것이 알려지면서 수리물리학자들까지 뛰어들고 있다.

2.1. 일반인을 위한 설명[편집]
이 설명은 존 더비셔 著의 '리만 가설'이라는 수학 교양 서적에 나오는 내용이며 다음 설명은 미네소타 대학의 해석적 정수론학자 데니스 헤이절(Dennis Hejhal)의 아이디어임을 미리 밝혀둔다. 그는 일반인에게 제타 함수나 복소수의 개념 없이 리만 가설에 대해 설명하기 위해 고안해 냈다고 한다. 또한, 그의 설명을 존 더비셔가 좀 더 풀어서 설명한 것이다.

2부터 출발하여 모든 자연수를 나열한다. 그리고 그 아래는 소인수분해를 해둔다.

이들 중 거듭 제곱 이상이 포함된 수는 무시한다.

약수(정확히는 소수만)의 갯수가 짝수 개면 H, 홀수 개면 T라고 표시한다. H와 T는 동전의 앞면, 뒷면이라는 뜻이다.

위의 과정을 거치면 대략 다음의 무한히 긴 표를 얻을 수 있다.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

2

3

2²

5

2×3

7

2³

3²

2×5

11

2²×3

...

T

T

T

H

T

H

T

...

이제 동전 던지기를 생각해보자. 동전을 던졌을 때 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 당연히 50%이다. 그러나 실제로 동전을 100번 던졌을 때 정확히 앞면 50회 뒷면 50회가 나오리라고 기대하는 사람은 거의 없을 것이다. 실제 동전 던지기를 하면 앞면이나 뒷면 중 한 면이 근소하게 많게 나오는 경우가 많다(1000회 던졌을 때 앞면 510회 뒷면 490회 식으로). 여기서 앞면과 뒷면 횟수의 차는 평균적으로 sqrt{N}=N^{1 over 2}
N
?  =N
2
1
? 
 회이다. 1000번 시행하면 평균적으로 32회 정도 차이난다는 것이다. 이는 시행횟수를 더 늘릴 수록 더욱 잘 들어맞는다.
그럼 위 표로 돌아가보자. 복습하면 T는 약수의 개수가 홀수 개인 자연수이며 소수는 약수가 1개이므로 여기에 속한다. H는 약수의 개수가 짝수 개인 자연수이다.
리만 가설은 H에 속하는 자연수와 T에 속하는 자연수의 개수가 동전던지기와 매우 유사하게 거의 50:50이며 차이가 나더라도 sqrt{N}
N
?  개 이하로 따라간다는 사실을 말해준다. 즉, 소수의 거듭제곱을 약수로 갖지 않는 자연수들 중 약수가 짝수 개 또는 홀수 개일 확률은 50:50으로 나타난다는 것이다.

즉 임의의 자연수를 골라 소인수분해 했을 때(소수의 거듭제곱인 약수가 포함된 수는 제외하고) 약수의 개수가 짝수 또는 홀수일 가능성은 동전 던지기처럼 50대50이라는 것이다.

이는 직관적으로 생각해 봤을 때 아주 틀린 주장 같지는 않아 보인다. 그러나 이것을 증명하면 그것은 리만 가설을 증명하는 것과 마찬가지이다. [2]

3. 수학적 설명[편집]
리만 가설은 소수의 분포, 즉 보다 정확히 말하자면 주어진 x 보다 크지 않은 소수의 개수 pileft(xright)π(x)에 대한 문제와 관련이 있다. 가우스는 관찰을 통해 pi(x)π(x)가 frac{x}{ln x}
lnx
x
?  에 근사한다는 소수 정리(prime number theorem)를 제시하였고, 이 소수의 규칙을 얼마나 정밀하게 나타낼 수 있는지가 사실상의 리만 가설의 내용이다.

3.1. 리만의 논문[편집]
리만 가설은 리만이 1859년 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Große)'라는 논문에서 처음 밝힌 가설이다. 이 논문에서 리만이 한 일은,

리만 제타 함수 (Riemann zeta function)를 복소수 ss의 실수부가 11보다 클 때 다음처럼 정의하였다.
zetaleft(sright)=displaystyle sum^{infty}_{n=1}frac{1}{n^s}=frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+cdotsζ(s)=
n=1
∑
∞
?  
n
s
 
1
?  =
1
s
 
1
?  +
2
s
 
1
?  +
3
s
 
1
?  +?

이 제타 함수의 정의역을 s=1s=1을 제외한 복소수 범위로 확장하였다. 확장한 함수는 s = -2, -4, -6, ldotss=?2,?4,?6,…에서 자명한 근(trivial zeros)을 갖고, 나머지 근들은 실수부가 00부터 1 1사이인 범위에 분포해 있다.[3] 이에 대한 해석적 확장은 아래문단에서 서술한다.

이 비자명 근들의 실수부는 모두 1/21/2이라는 가설, 소위 리만 가설을 제시하였다. 리만은 '이것에 대한 증명은 별로 안 중요해 보임. 그러니까 증명생략.' 이라고 외치고는 바로 본론에 들어간다.

가장 중요한 부분인데, 소수 계량 함수 pileft(xright)π(x)를 나타내는 공식을 제시하였다. 그 공식은 제타 함수의 비자명 근들에 대한 합으로 나타난다. 현대적인 언어로 이를 동치인 형태로 나타내면 다음과 같다.
psileft(xright) = x - displaystyle sum_rho frac{x^rho}{rho} - lnleft(2piright) - frac{1}{2}lnleft(1-x^{-2}right)ψ(x)=x?
ρ
∑
?  
ρ
x
ρ
 
?  ?ln(2π)?
2
1
?  ln(1?x
?2
 )
여기서 rhoρ는 제타 함수의 모든 비자명 근들이고, psileft(xright)ψ(x)는 체비셰프 함수 psileft(xright)= displaystyle sum_{p^kleq x}lnleft(pright)ψ(x)=
p
k
 ≤x
∑
?  ln(p)로, x가 증가함에 따라 대략 xx혹은 pileft(xright)lnleft(xright)π(x)ln(x)의 크기를 갖는다.

이 모든 내용 + α가 고작 8페이지 안에 담겨 있다.

대부분의 중간과정과 계산과정은 생략되어 있고, 제타 함수의 근을 비롯한 많은 내용이 매우 뜬금없이 제시된다. 하지만 이 논문은 당대수학자들은 물론이요, 현대의 정수론 연구자들에게도 절대 벗어날 수 없는 엄청난 영향을 끼치고 있다. 예를 들어 제타 함수의 복소수 변수는 항상 s로 통일되어 있는데, 이는 해석적 정수론에서는 반드시 리만의 논문의 표기를 따라야 하는 불문율이 있기 때문이다.

3.1.1. 제타 함수의 해석적 확장[편집]
리만은 그의 논문에서 제타 함수를 다음과 같이 확장하였다.
zeta(s)=displaystylefrac{1}{Gamma (s)}int_{ 0 }^{ infty } frac{x^{s-1}}{e^x-1}dxζ(s)=
Γ(s)
1
?  ∫
0
∞
?  
e
x
 ?1
x
s?1
 
?  dx

증명: 감마 함수를 다음과 같이 정의한다.

Gamma (z) =displaystyleint_{ 0 }^{ infty }{ x^{ z - 1 } e^{ -x } dx} Γ(z)=∫
0
∞
?  x
z?1
 e
?x
 dx
우변=displaystylefrac{1}{Gamma (s)}int_{ 0 }^{ infty }x^{s-1}sum_{n=1}^{ infty }e^{-nx}dx
Γ(s)
1
?  ∫
0
∞
?  x
s?1
 
n=1
∑
∞
?  e
?nx
 dx
displaystyle=frac{1}{Gamma (s)}displaystyle sum_{n=1}^{ infty }int_{ 0 }^{ infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=
Γ(s)
1
?  
n=1
∑
∞
?  ∫
0
∞
?  x
s?1
 e
?nx
 dx
nx=tnx=t로 치환하면
displaystyle=frac{1}{Gamma (s)}displaystyle sum_{n=1}^{ infty }int_{ 0 }^{ infty } frac{1}{n}{(frac{t}{n})}^{s-1}e^{-t}dt=
Γ(s)
1
?  
n=1
∑
∞
?  ∫
0
∞
?  
n
1
?  (
n
t
?  )
s?1
 e
?t
 dt
displaystyle=frac{1}{Gamma (s)}displaystyle sum_{n=1}^{ infty } frac{1}{n^{s}}int_{ 0 }^{ infty }t^{s-1}e^{-t}dt=
Γ(s)
1
?  
n=1
∑
∞
?  
n
s
 
1
?  ∫
0
∞
?  t
s?1
 e
?t
 dt
displaystyle=frac{1}{Gamma (s)}displaystyle sum_{n=1}^{ infty } frac{1}{n^{s}}Gamma(s)=
Γ(s)
1
?  
n=1
∑
∞
?  
n
s
 
1
?  Γ(s)
displaystyle= sum_{n=1}^{ infty } frac{1}{n^{s}}=
n=1
∑
∞
?  
n
s
 
1
?   (단, Re(s)>1Re(s)>1)
실제로 이 함수는 복소평면 전체에서 잘 정의되며, s=1s=1에서 pole을 가진다. 또한 리만은 이 함수에 대한 functional equation을 발견하였는데, 이는 다음과 같다.

먼저 세타 함수를 다음과 같이 정의한다.
displaystyle theta(t) = sum_{n=-infty}^{ infty }{ e^{ -pi n^2 t }} θ(t)=
n=?∞
∑
∞
?  e
?πn
2
 t
 
이때 제타 함수의 Re(s)>1Re(s)>1 부분은 displaystyle sumfrac{1}{n^s}∑
n
s
 
1
?  와 같기 때문에, 약간의 부분적분을 동원한 계산을 거치면
Re(s)>1Re(s)>1이면
displaystylepi^{-s/2} Gamma (s/2) zeta (s) = frac{1}{2} int_{ 0 }^{ infty }{ u^{ (s/2) - 1 }[theta (u) -1] du} π
?s/2
 Γ(s/2)ζ(s)=
2
1
?  ∫
0
∞
?  u
(s/2)?1
 [θ(u)?1]du
을 보일 수 있다.
우변의 식 전체를 xi(s)ξ(s)라 정의하면
displaystyle zeta(s)=pi^{s/2}frac{xi(s)}{Gamma (s/2)}ζ(s)=π
s/2
 
Γ(s/2)
ξ(s)
? 
가 바로 원하는 함수 방정식이다. (단 Re(s)>1Re(s)>1)
또한 Re(s)>0Re(s)>0에서 displaystyle zeta(s)-frac{1}{s-1}ζ(s)?
s?1
1
?  은 해석적이라는 것을 쉽게 보일 수 있으며, 크시 함수의 성질
displaystyle xi(s)=xi(1-s)ξ(s)=ξ(1?s) 에 의해 Re(s)leq0 Re(s)≤0까지도 확장 가능하다.

3.2. 리만 이후[편집]
리만의 논문은 소수정리의 사실상의 접근방법을 제시하였다. 위의 공식을 보면 다음과 같이 추측할 수 있는데 “리만 제타 함수의 모든 복소수 근의 실수부는 1보다 작다"라는 사실만 증명해도 소수정리가 증명된다. 이 사실은 아다마르와 푸생에 의해 무려 37년이 지난 1896년에야 증명되었다.[4] 비슷한 아이디어로 등차수열을 이루는 소수들에 대해서도 소수정리 비슷한 내용이 성립함이 1936년 지겔-왈피츠 정리(Siegel-Walfisz theorem)로 증명되었다.

현대의 수학자들은 그 이후로도 소수의 규칙에 대한 수많은 부수적 성과들을 계속 찾아내고 있지만, 리만 가설에 대한 실질적인 진전은 거의 나오지 않고 있다. '어떤 epsilon?에 대하여 모든 비자명근의 실수부가 1-epsilon1??보다 작다'라는 명제도 증명이 되지 않고 있을 정도. 수학자들은 리만 가설을 증명하기 위해서는 듣도 보도 못한 새로운 기법이 필요하다는 것에 동의하고 있다.

하지만 이 리만 가설을 뒷받침하는 수없이 많은 수치적 증거나 휴리스틱(heuristic) 등으로, 대부분의 수학자들이 리만 가설을 참이라 믿는 것도 사실이다. 수학자들은 리만 가설 자체와 더불어 제타 함수의 근들의 허수부가 '임의로' 분포한다는 가설도 믿고 있다. 이를 소수정리와 연관시켜 이야기하자면, 리만 가설은 소수정리의 오차항 psileft(xright) - xψ(x)?x이 대략 x^{1/2}x
1/2
 의 크기라는 것과 동치인데, 사람들은 이에 더불어 이 오차항이 랜덤하게 진동한다고까지 생각하는 것이다.

4. 이걸 풀면 어떻게 되는가[편집]
현대 암호 체계의 안전성은 대체로 큰 자연수를 소인수 분해하는 것이 어렵다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 리만 가설이 소수에 대한 정보를 많이 담고 있는 건 사실이지만, 일각에서 말하는 것처럼 리만 가설을 풀면 현대의 암호가 모두 무용지물이 된다는 괴담은 사실이 아니다. 단적으로 리만 가설을 가정한 상태에서도 아직까지 10^25 이하, 자리수가 25자리 이하인 소수의 개수조차 알지 못한다. 하지만 현대의 암호에 보통 사용하는 소수는 100자리를 넘는다. 물론 리만 가설을 증명, 혹은 반증하는 방법론이 무엇이냐에 따라 다를 가능성은 있지만, 적어도 리만 가설 자체는 큰 수를 소인수 분해하는 방법을 제공하지 못한다는 것이 정설이다.

네이버캐스트 수학산책 <리만가설>, 정경훈, #
수학자들은 외계인을 만난다면 그들에게 이것이 증명 가능한지 물어볼 것이라고 한다. 힐베르트는 죽은 후 500년 뒤에 깨어난다면 가장 먼저 '리만 가설이 증명되었습니까?'라고 물어보고 싶다고 했다.

증명에 성공하든 반례를 발견하든 상금 100만 달러를 얻고 전세계 수학자들의 존경을 받을 것이며, 인류가 멸망할 때까지 대수학이나 정수론 교과서에 그 이름이 실리게 될 것이다.

소수와 암호 체계와의 연관을 통해 RSA 등등의 암호체계의 안정성이 깨지느니 마느니에 대한 이야기가 있는데, 리만 가설이 증명되거나 반증된다고 해서 RSA의 안정성이 깨진다는 결과는 전혀 없다. 오히려 P=NP가 박살낼 것 적어도 현재까지는. 이는 리만 가설이 흔히 '소수의 규칙을 찾는 문제'로 소개되는 까닭으로, 리만 가설이 특정한 규칙을 제공해줄 것이라는 순진한 오해에서 오는 것이다. 하지만 사실 리만 가설과 더불어 현대수학자들이 믿는 내용은 '소수의 규칙은 없다'라는 것이다.[5]

RSA의 해법인 소인수분해 문제의 경우 1998년 제시된 Schnorr-Seysen-Lenstra의 알고리즘이 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서 Oleft(expleft(left(1+oleft(1right)right) left(log nright)^{1/2}left(log log nright){1/2} right)right)O(exp((1+o(1))(logn)
1/2
 (loglogn)1/2)) 의 시간복잡도를 보여주기는 하지만 다항시간 해법에는 여전히 택도 없다. 리만 가설 없이도 지수 복잡도 아래(oleft(n^{epsilon}right)o(n
?
 ))는 이미 도달가능했고, 적어도 현재까지는 리만 가설을 포함한 어떤 정수론의 가설(GRH, Lindelof, BSD, ...)도 모두 소인수분해의 문제의 해법에 전혀 다가가지도 못하고 있다.

사실 조금만 생각해봐도, 보통 어떤 명제가 참임을 가정하고 전개하는 또 다른 명제가 있는 경우는 많다. 실제로 리만 가설이 해결되면 수 많은 정리가 같이 증명된다는 것은 이를 두고 얘기하는 것이며 이것은 수학적으로 큰 성과가 될 것이다. 그러나 알고리즘을 예로 들면 밀러-라빈 소수판별법 을 보면 원래 밀러의 알고리즘은 일반화 리만 가설에 기반한 결정론적 알고리즘이라고 서술되어 있다. 실제로 문서 하단에 보면 "일반화 리만 가설이 맞다면 ~~했으면 이 수는 실제로 소수이다." 라고 쓰고 있다. 이 말인 즉슨, 그냥 리만 가설이 맞다고 생각하고 저 대로 계산해서 그 수가 소수라고 생각하면 그만이라는 말이다. 만약 그런데 그 수가 실제로는 소수가 아니라면? 여기서 저 명제가 틀린 것이 되어 일반화 리만 가설에 대한 반증이 되어 버린다![6] 만약 이런 경우가 발견되면 그건 그거대로 엄청난 성과가 되겠지만, 당연하게도 아직까지 그런 사례는 없다. 이런 것처럼 계산에 있어서는 어떤 가설이 참이든 거짓이든 신경 쓰지 않고, 그냥 계산한 다음 결과를 얻으면 그만이다. 즉 "증명" 과 "계산" 은 전혀 다른 부분이므로 가설을 증명한다고 해서 갑자기 소수에 관한 특별한 계산법이 튀어나오지는 않는다.

풀 수 있을지조차 의문이라, 세상에서 100만 달러를 버는 가장 어려운 방법이라는 농담진담도 있다.

4.1. 왜 중요한가?[편집]
리만 제타 함수가 소수의 분포와 관련이 있다고 언급이 되었던 것을 기억할 것이다. 왜 그런지 간단하게 설명하자면, 리만 제타 함수를 소인수분해하여 묶어주면 zetaleft(sright)=displaystyle prod_{p}frac{1}{1-p^{-s}}ζ(s)=
p
∏
?  
1?p
?s
 
1
?  로 볼 수 있다는 것을 참고하자.[7]
해석적 정수론에서 어떤 성질을 만족하는 소수들의 분포를 생각할 때 가장 기초적으로 사용하는 방식은 이런식으로 그 집합의 소수들 전체에 대해서 1/left(1-cp^{-s}right)1/(1?cp
?s
 )같은 항들을 다 곱해준 함수를 생각하고, 그 함수가 발산하는 지점 근처에서의 함수의 크기 변화를 연구하게 되면 역으로 우리가 원래 원한 소수의 분포에 대한 계산 식이 나온다. 무한 곱 자체는 실수부가 어느 정도 이상 커야 말이 되지만, 복소함수론에서 복소 함수를 해석적으로 연장하는 방법은 많아야 한 가지이기 때문에 복소수 전체 위에서 몇 몇 발산 지점을 제외한 곳에서 해석적인 함수로 연장시킬 수 있다. (리만 함수 자체도 발산 지점이 있다. 예를 들어 1!)

이 함수들을 가지고 여러 연산을 하면서 발산 지점 근처에서 대충 어느 정도 속도로 발산하는가...에 대한 연구를 하고싶은데, 문제는 우리가 리만 제타 함수 같은 가장 기초적인 경우에 조차 0이 어디있는 지도 정확히 모르기 때문에 나누기를 할 수가 없다는 것이다. 단순히 0이 어디 있는지에 대한 문제가 아니라, 이런 복소 함수의 연장에 관한 문제는 어디까지 실수부가 연장될 수 있는가가 곧 분포의 계산의 정확도를 가르기 때문에, 실수부가 1/21/2 더 연장될 수 있는가 아닌가, 등의 문제가 굉장히 기초적이고, 만약 일정 수준 이상의 성과를 내게 된다면 해석적으로 분포를 계산하는 데 큰 도움이 될 것이다. 위에서 언급되었듯 0이 존재할 수 있는 실수부 구간을 left[0,1right][0,1]에서 아주 조금만 줄인 left[varepsilon,1-varepsilonright][ε,1?ε]로 만드는 문제조차 전혀 풀리지 않은 이유[8]가 바로 이것이다. 만약 조금이나마 실수부 구간을 제한시킬 수 있다면 분포에 대한 계산 정확도가 엄청나게 높아질 것이기 때문이다.

5. 도전자들[편집]
워낙 어렵다보니 수학자들 사이에선 '리만 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'는 농담[9]까지 있다. 또한 리만 가설이 풀리지 않는 이유는 '문제 자체는 풀린 적이 있으나, 해답을 알게 된 순간 미쳐버리거나 갑자기 죽어버리기 때문에 알려지지 않는 것'이라는 소문도 있다. 이 문제에 대한 수학자들의 애증을 잘 보여준다.[10]

유명한 수학자인 고드프리 해럴드 하디[11]가 배를 타고 영국으로 돌아갈때 안전한 항해를 위해 '리만 가설을 증명했음'이란 전보를 보험삼아 남겼다는 일화가 있다. "자신이 죽는다면 가설을 증명했는데 안타깝게 죽었다고 사람들이 믿을 것이고 가설을 증명했다는 위대한 업적을 갖게 되겠지만, 신은 철저한 무신론자인 자신에게 그런 영광을 허락하지 않을려고 죽이지 않을 것이다."라는 논리. 이때 하디는 "내가 죽으면 불쌍한 수학자들은 페르마의 대정리 외에 또 하나의 괴물에게 시달려야 하지 않느냐"며 페르마를 깠다. 하지만 실제로 하디가 소수에 관심을 가질수 있던 이유중 하나는 어린 시절 교회를 다니던중 교회의 찬송가를 소인수분해 하는 과정에서 소수에 흥미를 키울수 있었기 때문이다. 실제로 하디는 1/2을 실수부로 갖는 해가 무한하단 걸 증명한 바가 있다. 참고로 모든 해가 아니다. 이 증명은 비록 무한한 해의 실수부가 1/2 이라도, 나머지 유한하거나 무한히 많은 해의 실수부가 1/2 가 아닐 수 있다는 가능성을 남기고 있다. [12]

현대의 많은 유명 수학자들도 젊었을 때 다른 분야에서 업적을 내고 중년에 리만 가설에 뛰어들어서 늙어서도 포기하지 않고 리만 가설을 연구하고 있다. 존 내시 교수가 리만 가설에 도전했다가 조현병을 앓게 된 것은 유명한 일화이다. 그런 존 내시의 일대기를 영화한 것이 뷰티풀 마인드이다. 필즈상 수상자인 셀베르그, 코언, 봄비에리, 들리뉴, 콘도 리만 가설을 연구했고 아래 나올 아티야도 연구하고 있었다! 폴 코언은 연속체 가설로 필즈상을 받고 평생 리만 가설에만 매달렸다고 한다.

5.1. 마이클 아티야 미세구조상수 증명법[편집]

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Title: The Riemann Hypothesis

제목: 리만 가설

Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from 1859. I will present a simple proof using a radically new approach. It is based on work of von Neumann (1936), Hirzebruch[13] (1954) and Dirac (1928).

요약: 리만 가설은 1859년에 제기됐을 때부터 풀리지 않은 가설로 유명하다. 나는 새로운 접근 방법을 이용해 이 가설에 대한 간단한 증명법을 발표하고자 한다. 나의 증명법은 폰노이만이 1936년에 발표한 작용소 이론, 히르체부르흐가 1954년에 발표한 히르체부르흐-리만-로흐 정리, 그리고 디랙이 1928년에 발표한 디랙 방정식에 기반을 두고 있다.

“Nobody believes any proof of the Riemann hypothesis, let alone a proof by someone who’s 90”
"리만 가설에 대한 어떤 증명도 사람들은 믿지 않습니다. 90세 노인의 증명은 말할것도 없고요."
“People say ‘we know mathematicians do all their best work before they’re 40’” “I’m trying to show them that they’re wrong. That I can do something when I’m 90.”
"사람들은 수학자들이 40세 이전에서야 최고의 결과를 할 수 있을 거라고 말합니다. 저는 그렇지 않다는 걸 보여주려고 합니다. 90살에도 할 수 있다는 걸 말이죠."

마이클 아티야 본인 Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis

2018년 9월 21일 수학자 마이클 아티야(Michael Atiyah)[14]가 리만 가설의 증명법(Proof)을 발견했으며, 9월 24일(09:45~)에 이를 발표하겠다는 예고가 공개되었다.

이는 꽤나 대중적으로 이슈가 되었는데, 물론 생방송 예고 발표라는 형식이 자극적인 것도 있지만, 아티야는 기하학에서 누구 부러울 것이 없는 대가이며 이미 필즈상, 아벨상까지 수상한 전설적인 수학자 중 하나였기 때문이다. 실상 그가 전에 발표한 Atiyah-Singer 지표 정리나 위상 K-이론 등의 연구들은 리만 가설 못지 않은[15] 최중요 연구들이기도 하며 수리물리 쪽에서도 업적이 만만치 않은 인물이다.

기대하는 측에서는, 이전에 수많은 낚시 증명 발표 예고의 경우에는 자신의 이론적 근거가 되는 다른 이론을 제시하지 않았지만, 이번 마이클 아티야의 발표 예고에는 분명히 출처 이론을 제시하고 있다는 점이 매우 큰 차이점이라고 보았다. 특히 이 증명이 사실로 판명될 경우 위에 기반으로 언급한 정리들은 현대수학의 메인스트림에 속하는 분야인 점이 매우 고무적이라는 것이다. 이전에는 많은 현대수학자들의 증명 시도에도 별 진전이 없었기 때문에 이 가설의 증명에는 완전히 새로운 형태의 수학이 필요할 것이라는 추측이 많았는데 위의 정리들을 기반으로 증명했다면 널리 잘 알려진 분야라 이의 응용이나 연구도 활발할 것이고 현대수학의 발전에 큰 도움이 될 것이라는 기대.

그러나 회의론이 오히려 더 거셌다. 대중들의 열띈 관심과는 달리, 정작 학계에서는 최근 아티야의 상태가 좋지 않다는 것이 중론이었기 때문에 거의 기대하지 않았다는 것이다. 일단 커리어로만 기대하기는 어려운 것이 필즈상 수상자들이 리만 가설을 증명했다고 했다가 물먹은 사례가 이미 있으며, 아티야가 고령인 데다가 정신적인 문제가 있을 수 있다는 소문이 있고, 최근 공식 석상 등에서 약간 횡설수설하는 듯한 모습을 보였다는 이야기가 있을 정도였다. 몇년 전에는 6차원 구면에서의 복소구조 연구를 발표하면서 영 이상한 것을 내놓은 것 때문에 신뢰도가 상당히 떨어져 있었다는 듯. 또한 출처 이론이라고 뜬금없이 나온 것들이 상당히 오래된 연구들이어서, 리만 가설에 대한 그간의 연구들을 무시할 정도로 대단한가에 대해 의문부호가 뜨게 하고 있으며, 또한 그가 최근 발표한 연구들이 학계에서 받아들여지지 않은 경우가 많아 의구심을 사고 있기도 했다. 이런 연유로, 학계에서는 기대심을 버리지는 못하고 있지만 대부분 부정적으로 예상했다는 것이다.

물론 미세구조상수만이라도 제대로 순수히 수학적으로 구한 것이 맞다면[16] 리만 가설의 증명은 따위로 만들고, 노벨물리학상을 직빵으로 탈 수 있는 엄청난 업적이 되는 것이다. 측정값인 물리상수, 그것도 양자역학에 아주 기본적인 물리상수들이 전부 포함된(전기 전하, 광속, 플랑크 상수) 이 상수[17]를 순수한 수학으로 구했다는 것이기 때문이다. 그도 그럴게, 측정값과 해석적으로 구한 수의 차이는 하늘과 땅 차이다. 아티야는 수리물리에서도 상당한 성과를 거두었기 때문에 영 가망이 없는 기대는 아니었다.
하지만 안타깝게도 공개된 문건에 따라 프로그래밍하여 계산한 결과, 미세구조상수의 역수값은 0.1602598029967017 이라는 결과가 나왔다. 이는 측정을 통해 알려진 미세구조상수의 역수값인 137.035999074… 와는 확연한 차이를 보이고 있다. 레딧

HLF측에서는 해당 발표가 엄청난 파급력이 있는 만큼 인터넷 방송으로 유튜브나 페이스북 등을 통해 생중계하는 것을 검토하기로 했다. 홈페이지 유튜브 페이스북 트위터 플리커 등 HLF의 공식 온라인 채널을 주시해야 할 듯.

2018년 9월 21일 New Scientist지에 마이클 아티야 본인의 언급이 실렸다. 그러나 마이클 아티야 본인이 최근 몇년간 학계에 내놓은 제안이 받아들여지지 않았다는 사실도 곁들여놨다. 기사

미국 시간으로 9월 23일 해당 논문의 프리프린트로 추정되는 문건이 올라왔다. 하지만 레딧이나 수학 갤러리에서 첫페이지부터 오류가 보인다고 이게 진짜냐? 하면서 안 믿고 있다. [18] 레딧, 수학 갤러리 위 문서는 Hector Martin Pena Pollastri라는 사람의 소유로 등록된 문서이다. 레딧에 이 문건을 기반으로 미세구조상수를 프로그래밍한 결과가 올라왔다.

5.1.1. 생방송, 그리고 그 이후[편집]
2018년 9월 24일 HLF 트위터를 통해 스트리밍 주소가 공개되었다. 홈페이지는 접속 폭주로 다운되었다. 해당 스트리밍 주소도 접속 폭주로 다운되고 새 링크를 제공하고 있다.

영상에서의 아티야는, 수학의 역사를 갑자기 늘어놓는 등 발표 45분간 증명의 논지와 관계없이 쓸데없는[19] 이야기로 일관하는 충공깽스러운 모습이었다. 끝난 이후 브레이크 타임에 참가자가 질문을 받자 아티야는 여전히 본인이 가설을 증명한게 맞다고 주장했다. 기사

레딧에서는 아티야의 '공개적 망신(public humiliation)'이나 아티야처럼 업적이 뛰어난 전설적인 수학자에게 이런 불미스러운 일이 일어난 것은 이 모든 건 포럼을 기획한 organizer의 잘못이라는 말까지 나오는 등 부정적인 주장이 강세다. 레딧 한국 웹에서는 HLF 역시 책임이 있고 무슨 생각이었는지 알 수 없다는 성난 목소리도 있었다. 일단 논문과는 별개로 방송 내용만 보면 확실하게 망했다. 원래 정말 본인이 증명한 내용이라면 앞에 역사 얘기를 전혀 할 이유가 없다. 열심히 본인의 증명을 컴퓨터와 화이트보드에 수식을 써가면서 설명해도 45분이라는 시간은 엄청 부족할테니까. 정말 증명했다면 몇 시간 동안이고 수식을 쓰고 있었을 것이다. 참고로 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 처음 발표할 때 와일즈는 발표회 시작부터 끝날 시간까지 수식만 엄청나게 썼다. 나중에 오류가 발견되긴 했지만...

발표 하루가 지난 시점에서 수학자들의 경우 대부분 논평을 거부하고 있는 상황. 아무래도 대선배를 공개처형하는 듯한 분위기에 동참하고 싶지 않은 것으로 보이며, 또한 아티야의 동료들의 경우 모두 다 증명에는 회의적이라는 입장을 보였으나 공개적으로 아티야와의 관계를 악화시키고 싶지 않아 섣불리 나서지 않는다는 듯 하다. 으레 예의상 하는 '증명은 되지 않더라도 유용한 연구로 발전하는 계기가 되길 바란다'는 식의 멘트 정도가 있을 뿐이다. 아직은 다른 수학자들의 검증을 기다려봐야 하겠지만 레딧에서의 의견처럼 실제 증명이 되었는가에 관해서는 회의적이라는 것이 중론이다. 보통 어떤 증명에 대한 검증이 완전히 이루어지기 위해서는 짧게는 일주일, 길게는 몇 개월까지 걸릴수도 있지만 이번 건의 경우 애초에 프리프린트부터가 아카이브에서 리젝당했다고도 하고, 검증해 줄 퍼블리셔도 없는데다가 프리프린트는 그렇다쳐도 진짜 논문은 어디에 있는거야? 진지하게 받아들이는 연구자가 거의 전무한 상황이다.

마이클 아티야를 존경하던 전공자들은 그의 위대한 업적 대신 말년에 망신 당한 수학자로 기억될까봐 안타까워하기도 했다. 상식적으로 생각해봐도 마이클 정도 되는 수학자가 저런 발표가 어떤 자리인지, 어떠한 이야기를 해야하는지 모를리 없다. 때문에 일각에서는 90세가 다된 마이클 아티야가 '노망난거 아니냐.', '리만 가설이 또 하나의 위대한 수학자를 골로 보냈구나'라는 말까지 나올 정도다.

다만 아직 논문이 출판된 것은 아니므로 맞다 틀리다를 이야기할 수는 없는 상황인 것은 분명하다. 그러나 예고까지 했던 강연에서 적절한 정보를 거의 제공하지 않고, 학계의 탓을 하며 자신이 증명에 성공했다는 주장만 내세우는 아티야의 태도가 논란을 증폭시킨 것도 부정하기 어렵다. 일단 수학 커뮤니티는 아티야를 존중하고 공식 논문 발표를 기다려 봐야 한다는 이야기가 많이 나오고 있는 상황이지만, 증명이 성공했는가에 대해 긍정적인 분위기는 전혀 발견하기 어렵다.

6. 대중문화에서의 리만 가설[편집]
미국 드라마 numb3rs에서 "리만 가설을 풀었다."고 말하던 (실제로는 오류가 있었다) 수학자가 암호 해독을 노리는 악당들에게 딸이 납치되는 에피소드가 나오기도 했다.

<Q.E.D. 증명종료>의 주인공 토마 소의 전공이 이 리만 가설과 관련된 것이며 작중 여기에 한 번 홀려서 모든 걸 팽개칠 뻔했으나 미즈하라 가나 덕분에 다시 일상으로 돌아올 수 있었다.

히가시노 게이고의 용의자 X의 헌신에서는 유카와 마나부가 자신의 동창인 이시가미를 만나러 올 때 리만 가설을 부정하는 논문을 가져와 대학 때 '달마'라는 별명을 가졌던 이시가미를 시험해본다. 이시가미는 논문을 받고 거의 5~6시간 만에 그 논문의 오류를 찾아냈고, 유카와는 이를 보고 '달마는 건재하다'며 만족하고 돌아간다. 유카와가 들은 바로는 상당히 잘나가는 수학자도 그 논문의 오류를 찾아내려면 고생 꽤나 할 거라고 한다.

영국 작가 매트 헤이그의 SF 소설 <휴먼 - 어느 외계인의 기록>에서 작중 저명한 수학자 앤드루 마틴이 리만 가설을 증명하게 된다. 그러나 지구를 관찰하던 우주적 존재 '호스트'는 인간이 도달해서는 안 되는 지식의 영역에 도달했다고 판단하여 앤드루 교수를 납치하고는, 외계인 중 하나를 앤드루 교수의 모습으로 바꿔치기하여 지구로 보낸다. 이 외계인의 임무는 교수가 리만 가설을 증명했다는 사실을 알고 있는 지구인들을 죽이는 것. 이는 소설의 도입부에 해당한다.

이영도의 피를 마시는 새의 등장인물 사라말 아이솔은 정우 규리하에게 소수의 규칙이 발견되기 전까지 비밀을 지켜주겠다고 약속했다.

키랏토 프리☆챤 28화 후반 앙주의 VIP 파티에서 과학자 3명이서 언급을 한다. 대신 피만의 가설로 바꿨으며 시도 메루가 공업수학에 나오는 유수 이론으로 풀어버린다. 만화니까 가능한 일이지 실제로 유수 이론을 접한다 해도 풀리지 않는다.

7. 리만의 비화[편집]
상술했다시피 위 리만의 논문은 겨우 10페이지에 현대 정수론의 정수를 담아내었다. 대부분의 중간과정과 계산과정이 생략된 이 논문은 당연히 매우 어려웠지만[20], 그 파장은 엄청났다. 또한 이와 더불어 리만은 실제로 제타함수의 첫 4개의 근을 정말 뜬금없이 제시했다.[21] 그래서 이 논문이 나온 후, 주위 수학자들은 리만을 엄청나게 직관적인[22] 수학자라고 취급했고, 그를 칭찬하기 시작했다.[23]

그러나 그건 모두 오해였는데, 나중에 리만이 죽은 후 그의 집에서 불태워[24] 지기 직전의 자료중 하나에서 발견된 것으로 보아 리만은 엄청난 노력쟁이였다. 논문에 써져있던 모든 근의 계산을 진짜로 빠짐없이 해낸 것이 발견된 것.[25] 결과적으로 논문의 무심한듯 시크함에 매료된 수학자들의 칭찬을 받았지만

사실 리만이 계산 과정을 모두 생략해버린 건 스승인 가우스의 영향이 크다. 어떠한 의미있는 결론에 도달하면 그에 필요했던 사소한 과정은 생략하도록 가르침을 받았다. 가우스는 심지어 복소평면을 이용한 복소수의 표현과 계산법을 만들어냈음에도, 복소평면이라는 개념을 대중에 내놓지 않았다. 당시 득세하던 프랑스 수학에는 <수학은 수식과 방정식으로만 표시되어야 한다>는 생각이 있었고, 가우스도 이를 의식한 것으로 여겨진다.[26]

흥미로운 사실은, 이 리만의 10쪽짜리 논문의 한 구절에서 대부분의 영점들이 특이선 위에 있다는 사실을 스스로 증명할 수 있으리라 믿었다고 썼다는 점이다. 하지만 완벽주의 때문인지 아직 출판할 정도에는 이르지 못했다는 글귀만 남겼다. 논문의 해당 부분은 아래와 같다. 왠지 페르마가 떠오르지?

Certainly one would wish for a stricter proof here; I have meanwhile temporarily put aside the search for this after some fleeting futile attempts, as it appears unnecessary for the next objective of my investigation. 독자들은 보다 엄밀한 증명을 원할 것이다. 나는 몇 가지 증명을 시도했으나 당장은 해결하지 못했다. 지금 논의를 진행하는데 필수적이진 않으므로 일단 넘어가겠다

하나 알아두어야 할 사실은 그때는 컴퓨터도 없었을 뿐더러 계산을 약간이라도 쉽게하는 오일러의 업적[27]이 제대로 사용되지 않았을 때라는거다. 컴퓨터가 생기기 이전까지만 해도 이 방법을 통해서 계산한 것으로 보면 이 방법이 컴퓨터가 없는 한 최선인데, 이 방법조차 없던 때에서 10개정도의 근을 내보인 것. 알만한 사람은 알겠지만, 근 자체가 '복소수'[28]인데다가 그걸 감마함수(계승함수)에도 넣고, 삼각함수에도 넣고 쌩쇼를 다 한 다음에 곱해야지 제타함수의 값을 알수있다. 그러니까 리만은 직접 하나하나 다 대입해서 10개 정도의 근을 찾은 것이다.

그러니까 고등학교 수준으로 설명하자면 한 10000차 정도의 방정식이 있는데, 이 함수의 모든 근을 '사이값 정리' 만으로 구하라는 느낌?[29]

8. 기타[편집]
리만 가설은 '소수의 규칙성을 찾는 문제예요'하고 일반인들에게 그나마 쉽게 어떤 문제인지 설명할 수 있기 때문에 다른 밀레니엄 문제보다 작품 상에서 쉽게 접할 수 있다. 다른 문제는 도대체 어떤 문젠지 설명하는 것 조차 거의 불가능하니.[30]

참고로 리만 가설은 다른 밀레니엄 문제보다 훨씬 이른 시기부터 주목을 받아 왔던 문제이다. 정확히 1900년에 독일의 다비트 힐베르트가 제정한 23개의 힐베르트의 문제들에도 포함되어 있었다.[31][32] 그리고 100년 뒤로 이월된 유일한 문제다.

[1] 그들의 주관적 기준이 포함된 표현이겠지만, 세상에서 가장 어려운 문제라고 칭하는 사람들도 있다. 원래는 페르마의 대정리가 이 자리를 차지했지만 앤드루 와일스에 의해 페르마의 대정리가 증명되면서 리만 가설이 이 자리를 이어받게 되었다.
[2] 위 이야기는 수학적으로 리만 가설과 동치인 M(k)=O(k^{{1 over 2} + epsilon})M(k)=O(k
2
1
?  +?
 )을 풀어서 설명한 것이다. M(k)는 메르텐스 함수이며 M(k)=displaystyle sum^{k}_{n=1}mu(n) M(k)=
n=1
∑
k
?  μ(n)으로 정의된다. mu(k)μ(k)는 뫼비우스 함수로 자세한 내용은 위키백과 문서를 참조하기 바란다.
[3] 식을 보면 아무리 봐도 's<1s<1인 곳에서는 정의되지 않을 것 같은데...' 하는 의문이 드는 위키러들은 다음의 예를 참고해 보자. 등비수열의 무한합 1+r+r^2+cdots1+r+r
2
 +?은 rr의 절대값이 1보다 작을 때에만 의미가 있는 식이다. 하지만 공식을 사용해 이를 frac{1}{1-r}
1?r
1
?  로 나타내면, 이는 1을 제외한 복소수 범위에서 항상 정의되는 식이다. 이런 과정을 일반적으로는 해석적 확장(analytic continuation)이라고 한다. 리만이 제시한 제타 함수의 해석적 확장은 그의 천재적인 직관을 통해 비교적 간단한 방식으로 나타나게 된다.
[4] 나중에 수학자 폴 에어디쉬 등에 의해서 복소해석을 사용하지 않는 초등적(elementary) 증명법이 발견되었다. 하지만 이 '초등적' 증명은 제타 함수를 사용하는 증명보다 훨씬 어렵다! 당연한 게, 비유를 들자면 제타 함수나 복소 해석을 사용한 증명법을 포크레인이라 한다면 초등적 증명은 티스푼으로 볼 수 있기 때문이다.
[5] 만약 비자명근의 허수부가 일정한 규칙을 따르고 있다면 소수를 규칙적으로 만들어 내는 공식을 만들 수 있다. 이는 리만 제타함수의 비자명근의 허수부가 지수함수에 들어가서 삼각함수 형태가 되며 소수 계량 함수와 가우스와 르장드르의 소수 근사공식간의 오차함수인 pileft(xright)-displaystyle{frac{x}{log x}}π(x)?
logx
x
?  라는 오차함수로 바뀌기 때문이다. 근이 유한개이거나 규칙적으로 생성된다면 이 부분을 계산 과정의 난이도를 논외시하고 일단 displaystyle{sum}∑으로 압축할 수 있다. 하지만 현재 나온 상황증거에 비추면 비자명근의 허수부에는 규칙이 없이 근이 무작위로 늘어서 있기 때문에 실질적으로 소수의 규칙적인 도출 공식은 존재하지 않는다는게 정설이다. 물론 하디에 의해서 실수부가 1/2인 비자명근의 수가 무한하다는 것 자체는 이미 증명이 끝난 상태.
[6] 애초에 그 수가 소수가 아닌 건 어떻게 알거냐고 할 수도 있는데, 그런 거 신경 쓰지 말고 그냥 RSA 등의 알고리즘 계산에 써버리면 된다. 만약 그 수가 실제로는 소수가 아니어서 보안이 뚫리거나 알고리즘 계산이 제대로 안 된다면 일반화 리만 가설이 반증되는 것이니 그건 그거대로 엄청난 성과가 될 것이고, 일반화 리만 가설이 참인 경우 그 수들은 실제로 모두 소수일 것이므로 보안상 허점이 생기지 않는다.
[7] 오일러의 황금열쇠(Euler's Golden Key)라고도 한다.
[8] 하디와 리틀우드에 의해서 비슷한 증명이 이뤄지기는 했지만, 리틀우드가 한 증명은 해당 범위대에는 무한한 수의 근이 존재한다. 라는 것일 뿐, 그 범위 밖에 비자명근이 하나도 없다. 라는걸 증명한게 아니다.
[9] 수학자로서의 명성이 영원히 남는다는 의미를 내포하고 있다.
[10] 원래는 리만 가설이 아닌 '소수 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'라는 소문이었으며, 실제로 소수 가설을 증명한 수학자들은 터무니 없이 오래 수학자로서 활동했다.
[11] 하디 바인베르크 법칙의 그 하디가 맞다.
[12] 간단히 비유하자면, 무한히 많은 자연수 중에서 짝수가 무한함을 증명했다. 라는 것과 같다. 짝수가 아닌 수가 무한한 것 처럼, infty-infty∞?∞가 0이라는 보장은 없다.
[13] 프리드리히 히르체부르흐. 막스플랑크 수학연구소의 초대 소장이자 아티야와 함께 위상 K이론을 창시하였다.
[14] 2018년 기준 89세로, 1966년에 필즈상, 2004년에 아벨상을 수상하였으며 1983년 수학에 대한 공헌이 인정되어 기사작위(Knight Bachelor)를 받았다.
[15] 리만 가설이 증명하기 어렵고 뭔가 떡밥이 많아서 대중적으로 유명해서 그렇지, 아티야의 다른 연구들이 수학적으로는 동등하거나 혹은 더 의미가 있는 연구들이다.
[16] 사실 이것이 아티야의 의도였다. 리만 가설은 사실상 곁다리로 언급한 것으로 증명보다는 증명에 필요한 도구를 소개했을 뿐.
[17] 미세구조상수란 온갖 물리상수를 짬뽕해서 무차원으로 만든 숫자이기 때문에, SI단위계, 자연단위계, 미국 단위계 어느 단위계를 사용하더라도 같은 수가 나오게 된다. 또한, 이 미세구조상수를 수학적으로 구하는데 성공했다면, 물리상수중 하나만 왜 그런 수치가 나오는지를 결정짓기만 해도 다른 물리상수가 줄줄히 유도될 수 있다는 특징도 있다.
[18] 그도 그럴것이 마이클 아티야는 과거 논문의 내용에 오류가 있었던 적은 있었지만 형식에서는 오류가 있었던 적이 없었다. 반면 구글 드라이브에서 아티야 본인이 올린 것도 아닌 아티야의 논문이라고 주장하는 논문은 형식에서도 오류가 있다. 물론 아티야가 오락가락하는 상황이라면...
[19] 일반인 기준으로 너무 어려운 내용이라 뭔 소리인지 알 수가 없다는 것이 아니고, 수학자들 입장에서 증명의 논지나 흐름이 보이지 않고 쓸데없는 소리를 했다는 뜻이다.
[20] 계산을 읽는 사람이 알아서 해야했으니...
[21] 논문에서 진짜로 갑자기 툭 하고 튀어나온다.
[22] 중간과정없이 답을 찍어내는 굇수라 생각한 것.
[23] 사실 논문상 중간과정이 빠져있는경우 직관에 치중하여 나온 경우는 거의없다. 생략하거나 소실된 경우가 대다수이다. 쉽게 생각해봐도 합당한 타당성을 제시할 수 없이 막연한 연산값은 증명을 필연적으로 요구한다. 즉 머리로 시뮬레이션을 돌려 오차범위를 파악하거나 하는 경우는 증명과정자체가 복잡난무하지 않은 케이스이다.
[24] 리만의 집을 청소하던 가정부가 그냥 종이인줄 알고 다 태울 뻔했고, 반이상의 자료가 날아갔던 것이다. 아.. 망했어요
[25] 몇몇 수학자들이 이 자료를 보고도 무슨 뜻인지 못 알아보다가, 독일의 수학자 지겔에 의해서 의미가 밝혀졌다. 누이들을 키우느라 늘 가난했던 리만은 종이에 여백이 없을 정도로 계산을 해댔다.
[26] 다른 이유도 있는데, 수백년 동안 수학자들은 그림에는 사람을 오도하는 힘이 있다고 믿어왔다고 한다.
[27] 어떤 함수의 합을 적분으로 바꿀수 있는 기법
[28] 물론 리만가설에 의하면 이 근의 실수부는 1/2 여야 한다.
[29] 정확히 말하면 복소해석학에서 말하는 유수공식(residue formula)을 사용해서 직사각형 내부의 근의 개수를 어림한다. 하지만 어찌 보면 이게 더 미친 것이, 값 하나 계산하기도 힘든 함수의 적분을 손으로 풀어야 한다. 그것도 수십 번을...
[30] 하지만 7개 문제 중에서 쉬울 뿐이다. 실제로 리만 가설을 가장 쉽게 풀이한 책 '리만 가설'의 저자는 이 책에서 미적분을 말하고 싶지 않았지만 어쩔 수 없이 말하게 된다며 미적분의 기초를 알려준다. 물론 리만의 논문을 이해하려면 당연히 미적분 정도로는 턱없다.
[31] 힐베르트는 사실 리만 가설의 중요성을 인식하고 있었지만 실제로 간절히 증명되기 원했던 것은 2번 문제인 수학의 완전성과 관련이 있는 문제였다. 그런데 이건 괴델이 불완전성 정리를 완성하면서 무너지게 된다.
[32] 또 다른 미스테리는 힐베르트는 생전에 풀리리라 예측한 난이도 下 정도(수학자들 사이의 기준) 문제인데 보기 좋게 거꾸로 됐다. 자세한 내용은 수학 문서를 참조.

통일장 이론
최근 수정 시각: 2018-06-03 03:43:09

분류 물리학
統一場理論
Unified field theory

모든 것의 이론과 비슷한 개념이나 통일장 이론은 힘의 통합을 장이론으로 나타내려 한다는 특징이 있다.

그 중 유명한 것은 알베르트 아인슈타인이 제창한 이론으로, 모든 힘을 하나의 장으로 나타내려는 시도였다. 중력이론의 완성이라는 큰 목표를 이루고 난 뒤 아인슈타인의 관심사는 그 당시까지 알려져 있던 힘인 중력과 전자기력을 통합하는 것으로 옮겨갔다.[1] 그는 양자역학을 거부하고 통일장 이론에만 치중했기에 아인슈타인은 주류 물리학계에서 멀어져만 갔다. 그는 죽는 날까지도 통일장 이론에 대한 계산에 몰두했다고 한다. 아인슈타인은 통일장 이론을 완성하는 데에는 실패했지만, 그가 주장한 "힘의 통합이라는 개념"은 현대 물리학의 근간이 되었다. [2]

힘의 통일에 대해서 살펴보자면 역사적으로 아이작 뉴턴이 중력을 발견하고 1800년대 맥스웰의 연구로 전기력과 자기력이 서로 연결되었음이 밝혀져 전기와 자기를 '전자기력'으로 통합적으로 다룰 수 있게 된다. 그 뒤 양자 세계에 대한 연구가 진행되며 물리학계에서는 약한 상호작용, 강한 상호작용, 전자기력, 중력의 4가지 기본 상호작용을 만물의 근원적인 힘으로 여기게 된다.[3] 1950년대 무렵 이 4가지 힘이 하나의 근본 힘에서 갈라져 나왔을 것이란 설이 제시되었고, 양자장론을 기반으로 하여 1970년대 Glashow, Weinberg, Salam의 연구로 전자기력과 약한 상호작용도 통일되어 '전약력' 혹은 '약전자기력(弱電磁氣力, electroweak interaction)'[4]이 되었다. 그리고 물리학자들은 강력과 전약력을 통일한 대통일 이론을 주장하기에 이른다. 다만, 대통일 이론은 이미 70년대에 제안되었으나 가장 간단한 SU(5) 군을 통한 대통일이론은 실험을 통해 부정되었다[5].

과거의 패러다임에서는 가능한 힘들은 모두 개별적으로 존재할 것이라 생각하였으나 그 틀은 점점 깨지고 있고 대통일이론을 넘어 만물이론, 즉 모든 것의 이론(Theory of Everything)이 등장할 것이라는 전망도 있다. 다만 일부 학자들은 만물의 이론에는 장이론이 아닌 다른 체계가 필요하다고 믿고 있다. 다시 말해 만물의 이론은 통일'장' 이론이 아닐 수도 있다는 것이다.

절대 쉬운 일이 아니다. 지금까지 이루어진 통합도 300년 간 과학자들이 머리 싸맨 결과물이니 만큼 다음 단계로 가는 데까지 얼마나 걸릴지는 그 누구도 모른다. 당장 중력이 큰 영향력을 미치면서 상대성 이론으로 설명되는 거시계와 중력을 배제하다시피 하면서 양자 역학이 중심축이 되는 미시계의 통합부터 저 먼 나라 이야기 같은 판에...좀 더 요약하면 '그 아인슈타인마저 정복하지 못한'것이 이 이론이다.

[1] 당시로서는 약력과 강력이 알려지지 않았고, 힘의 세기가 거리의 제곱에 반비례하기 때문에 두 힘이 가장 유사하다고 여겨졌다.
[2] 더군다나 비록 중력이 다른 힘과 통합하기 가장 힘들기는 하지만, 아인슈타인 말대로 전자기력과 중력을 통합하려고 하다 등장한 이론인 칼루자-클라인 이론에서 제창한 여분의 차원개념이 초끈 이론에서 쓰이고 있다.
[3] 원자를 중심으로 할 때 약한 상호작용은 원자핵의 베타 붕괴, 전자기력은 그 원자 주변의 전자와 원자 사이의 전기적 힘을, 강한 상호작용은 원자핵 자체를 결합시키는 힘을 다룬다. 중력은 원자를 비롯한 질량을 가진 모든 만물에 작용하는 힘을 다룬다.
[4] 이 또한 완벽한 통합이론이 아니다.입자물리학에서는 이러한 상호작용을 구분하는 물리량이 결합상수(Coupling constant)인데, 두 상호작용의 결합상수는 반드시 독립적인 두개의 서로다른 결합상수로 표현되어야 하기 때문이다. 즉, 우리는 두 상호작용의 결합상수간 관계만을 알 뿐, 근본적으로 어느 상호작용(힘의 상관관계)에서 파생되어 왔는지를 알지 못한다. 그래서 일부는 불완전한 통일, 혹은 서로다른 두 힘을 혼합하여 관계만을 설명한 이론이라 설명하기도 한다.
[5] SU(5) 대통일이 정말 맞다면, 양성자는 양전자와 파이온으로 붕괴할 수 있고, 파이온이 붕괴하고 양전자가 전자와 만나 붕괴하면서 4개를 방출한다. 이 붕괴과정에 따른 양성자의 반감기(Life time)는 10^{30} ~ 10^{31} 10
30
  10
31
  년 이다. 그러나 일본 카미오칸데 실험에서 물분자를 거의 2 times 10^{32} 2×10
32
 개 가량 모아놓고, 반감기를 측정하려 했으나 유사한 신호를 발견도 못하면서, 반감기는 최저 10^{32}10
32
  년 이상이라는 것을 확인하면서 SU(5)로 이루어진 대통일이론은 좌초되었다.