숫자놀이 순위

만일 부피가 1,000cm3인 종이 책에 '0' 을 1행당 50개, 1페이지에 25줄로 총 400페이지에 걸쳐 적는다면, 대략 5×105 개의 '0' 을 적을 수 있으며, 즉 1cm3당 10개의 '0' 이 적힌 것과 같다. 한편, 우리가 관측 가능한 우주의 넓이는 직경 930억 광년의 구체로서 대략 3×1080m3 로 여겨진다. 즉, 온 우주가 '0' 이 적힌 종이로 가득 채워져 있다고 해도, 불과 3×1087개의 '0' 만을 적을 수 있다는 게 되는데, 이는 구골개에 한참 못 미치는 개수이다. 설사 온 우주의 모든 기본입자 (소립자) 를 '0' 을 적는 데 쓴다고 해도, 관측 가능한 우주 전체에 존재하는 기본입자의 수조차 2.5×1089 개에 불과하다. 기본입자를 모두 원하더라도 우주의 넓이가 지금의 4백억 배 더 넓어져야만 구골플렉스를 표기할 수 있는 것이다. 따라서, 구골플렉스를 '0' 을 적는 방법으로 적는 것은 온 우주를 총 동원하여도 불가능하다 할 수 있다.

구골플렉스

10^10^100

구골플렉시안(Googolplexian), 구골듀플렉스(Googolduplex), 구골플렉스플렉스(Googolplexplex), 구골플러스플렉스(Googolplusplex)는 10구골플렉스=101010100에 해당하는 수이다. 1 다음에 0이 구골플렉스 개 있다.

구골플렉시안

10^10^10^100

그레이엄 수(Graham's number)는 미국의 수학자로널드 그레이엄이 이름을 붙인 특정한 자연수의 명칭으로서, 수학적으로 의미를 가지고 있는 가장 큰 자연수이다. {displaystyle G{64}(4)}로 표시한다. 램지 이론에 대한 수학 문제의 해결과정에서 상계(upper bound)로 제시한 수로서, 단순한 크기 이외의 수학적 의미를 갖는 수 가운데 가장 큰 수라는 의의를 갖고 있으며, 기네스 북에도 실려 있다. 그 크기는 너무나 거대해서 자연계 또는 물리적인 실체, 또는 문학적 비유나 상상 등으로조차도 비견될 만한 존재가 없다. 일상적인 자연수 표기법이나 거듭제곱의 방법으로는 도저히 나타낼 수 없어서, 특수하게 정의된 큰 수 표기법을 사용하여 나타낸다. 이 수 전체는 아직까지 계산된 적도, 또한 그렇게 계산된 수를 나열하는 것도 불가능하다. 

계산법

3↑3 은 3^3 (= 27)33(=27)을 의미한다. ↑ 하나는 일반적인 '거듭제곱'의 계산을 의미한다. 즉 a uparrow b = a^ba↑b=ab이다. 

3 uparrowuparrow 3 = 3 uparrow (3 uparrow 3)3↑↑3=3↑(3↑3)으로 정의되는 데, 이미 이 단계에서 3 uparrowuparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 76255974849873↑↑3=333=327=7625597484987. 즉 7조를 넘는다. 이를 테트레이션이라고 하는데, 일반적인 표현은 a uparrowuparrow b = a uparrow a uparrow a uparrow ... uparrow a = a^{a^{a...^a}}a↑↑b=a↑a↑a↑...↑a=aaa...a(a가 b개)이다.

3 uparrowuparrowuparrow 33↑↑↑3 은 3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow 3) = 3 uparrowuparrow 7625597484987 = 3 uparrow 3 uparrow 3 uparrow 3 uparrow ... uparrow 33↑↑(3↑↑3)=3↑↑7625597484987=3↑3↑3↑3↑...↑3인데, 이는 3을 거듭제곱으로 7,625,597,484,987개를 쌓아 올린 것이다. 이를 펜테이션이라고 부른다. 이미 이 단계에서부터 우리가 사는 우주의 어떤 것을 동원해도 이 수의 발끝조차 미치지 못한다. 즉 이미 화살표 3개 단계에서 우주는 따위에 불과한 수가 된다.

3 uparrowuparrowuparrowuparrow 33↑↑↑↑3은 3 uparrowuparrowuparrow (3 uparrowuparrowuparrow 3)3↑↑↑(3↑↑↑3)인데, 위와 같은 식의 계산을 그만큼 반복한다는 뜻이다. 아래 동영상에선 stupidly big, 즉 무식하게 큰 수라 정의하고 있다.

아래 동영상을 보면 3 uparrowuparrowuparrowuparrow 3 = g_13↑↑↑↑3=g1​이라 정의한다. 이 단계에선 이미 우주는 이 수 앞에서 우주의 미립자만도 못한 신세이다. 

uparrow=↑

초한수

초한수는 모든 유한수보다 큰 수를 의미한다. 초한수가 절대적 무한일 필요성은 없으며, 초한수 사이에도 크기 비교가 가능할 수있다. 예를 들어, 는 순서수 중 가장 작은 초한수이며, 마찬가지로 알레프-0( )은 기수 중 가장 작은 수이다.

무한

한계가 존재하지 않음

끝